【高中数学三角函数公式】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式对于解题和理解相关概念至关重要。本文将对常用的三角函数公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数定义
设角 $ \theta $ 的终边与单位圆交于点 $ P(x, y) $，则有：
| 函数名称 | 定义式 | 反函数（可选） |
| 正弦 | $ \sin\theta = y $ | $ \arcsin(y) $ |
| 余弦 | $ \cos\theta = x $ | $ \arccos(x) $ |
| 正切 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ | $ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $ |
| 余切 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ | $ \text{arccot}\left(\frac{x}{y}\right) $ |
| 正割 | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $ | $ \text{arcsec}(x) $ |
| 余割 | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $ | $ \text{arccsc}(y) $ |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 勾股恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正割关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ |
| 余切与余割关系 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差（正弦） | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| 积化和差（余弦） | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| 积化和差（正弦） | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
| 和差化积（正弦） | $ \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2} $ |
| 和差化积（余弦） | $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2} $ |
总结
以上是高中数学中常见的三角函数公式，涵盖了基本定义、基本关系、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式以及积化和差与和差化积等内容。这些公式在解题过程中非常实用，建议学生通过反复练习加以巩固。
如需进一步了解具体应用或例题解析，可结合教材或教师讲解进行深入学习。
