【高中数学期望常用公式】在高中数学中，期望是一个重要的概率概念，广泛应用于随机变量的分析与实际问题的解决中。掌握常见的期望公式对于理解概率分布、进行数据分析以及解决实际问题具有重要意义。以下是对高中数学中常用期望公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、期望的基本概念
期望（Expected Value）是随机变量在大量重复试验中所表现出的平均值。它反映了随机事件的“长期平均结果”。用数学符号表示为 $ E(X) $，其中 $ X $ 是一个随机变量。
二、常见随机变量的期望公式
| 随机变量类型 | 概率分布 | 数学表达式 | 期望公式 | 说明 |
| 两点分布 | 伯努利分布 | $ P(X=1)=p, \ P(X=0)=1-p $ | $ E(X) = p $ | 用于描述一次试验成功或失败的情况 |
| 二项分布 | 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ | 表示 n 次独立重复试验中成功的次数 |
| 超几何分布 | 超几何分布 | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ | 用于不放回抽样中的成功次数 |
| 均匀分布 | 离散均匀分布 | $ P(X=k) = \frac{1}{n},\ k=1,2,...,n $ | $ E(X) = \frac{n+1}{2} $ | 所有可能取值的概率相等 |
| 正态分布 | 连续正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ | 常见的连续分布，均值即为期望 |
| 泊松分布 | 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ | 描述单位时间内发生某事件的次数 |
三、期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 期望的可加性：对任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立性：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
四、应用实例
例如，在抛一枚硬币的游戏中，正面出现的概率为 0.5，反面也为 0.5。如果正面得 2 分，反面得 -1 分，那么期望得分计算如下：
$$
E(X) = 0.5 \times 2 + 0.5 \times (-1) = 1 - 0.5 = 0.5
$$
这表明，从长期来看，每次游戏的平均得分是 0.5 分。
五、总结
在高中数学中，期望是连接概率与实际问题的重要桥梁。掌握各种分布的期望公式，有助于提高解题效率，增强对概率问题的理解能力。通过合理使用这些公式，可以更准确地预测和分析随机事件的结果。
附表：常用期望公式一览表
| 分布类型 | 公式 | 说明 |
| 两点分布 | $ E(X) = p $ | 成功概率为 $ p $ |
| 二项分布 | $ E(X) = np $ | n 次独立试验，成功概率 $ p $ |
| 超几何分布 | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ | 不放回抽样，成功数期望 |
| 均匀分布 | $ E(X) = \frac{n+1}{2} $ | 等概率取值的离散分布 |
| 正态分布 | $ E(X) = \mu $ | 均值即为期望 |
| 泊松分布 | $ E(X) = \lambda $ | 参数 $ \lambda $ 即为期望 |
以上内容结合了高中数学教材中的核心知识点，避免使用复杂术语，适合学生理解和复习。希望对你的学习有所帮助！
