【高中数学期望公式】在高中数学中，期望是一个重要的概率统计概念，常用于描述随机变量在长期试验中平均结果的数值。它在实际问题中广泛应用，如赌博、投资决策、游戏设计等。本文将对高中阶段常见的期望公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、期望的基本概念
期望（Expected Value）是指一个随机变量在所有可能结果中，按照各自概率加权后的平均值。通俗来说，就是“长期来看，某个事件发生的平均结果”。
对于离散型随机变量 $ X $，其期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中：
- $ x_i $ 是随机变量的第 $ i $ 个可能取值；
- $ P(x_i) $ 是 $ x_i $ 对应的概率。
二、常见分布的期望公式
以下是高中数学中常见的几种概率分布及其对应的期望公式，便于理解和应用。
| 分布类型 | 随机变量 $ X $ 的可能取值 | 概率质量函数 $ P(X=x) $ | 期望公式 $ E(X) $ |
| 两点分布 | 0 或 1 | $ P(0) = 1-p, P(1) = p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | 0, 1, 2, ..., n | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 超几何分布 | 0, 1, ..., N | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ |
| 均匀分布 | $ a, a+1, ..., b $ | $ P(X=k) = \frac{1}{b-a+1} $ | $ E(X) = \frac{a+b}{2} $ |
| 几何分布 | 1, 2, 3, ... | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ E(X) = \frac{1}{p} $ |
三、期望的性质
1. 线性性：对于任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，以及常数 $ a $、$ b $，有
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
2. 常数的期望等于自身：若 $ c $ 为常数，则 $ E(c) = c $
3. 独立变量的期望乘积：若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
四、应用举例
例题：一个袋中有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，设 $ X $ 表示取到红球的次数（0 或 1），求 $ E(X) $。
解：
- $ P(X=1) = \frac{5}{8} $
- $ P(X=0) = \frac{3}{8} $
- 所以 $ E(X) = 1 \cdot \frac{5}{8} + 0 \cdot \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $
五、小结
期望是概率论中的核心概念之一，掌握其基本公式与性质有助于解决实际问题。高中阶段主要涉及的是离散型随机变量的期望计算，包括两点分布、二项分布、超几何分布等常见模型。通过理解这些公式的含义与应用场景，可以更好地应对考试与实际问题。
表格总结：
| 类型 | 公式表达式 | 应用场景 |
| 两点分布 | $ E(X) = p $ | 投掷硬币、成功/失败问题 |
| 二项分布 | $ E(X) = np $ | 多次独立试验中的成功次数 |
| 超几何分布 | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ | 不放回抽样问题 |
| 均匀分布 | $ E(X) = \frac{a+b}{2} $ | 等概率事件的平均值 |
| 几何分布 | $ E(X) = \frac{1}{p} $ | 第一次成功前的试验次数 |
通过以上内容，希望你能够更清晰地理解高中数学中期望公式的应用与意义。
