【高数求导公式大全】在高等数学的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握各类函数的求导公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对微分概念的理解。以下是对常见高数求导公式的系统总结，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = c $（常数） | $ y' = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ | 幂函数的求导法则 |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ | 指数函数的导数 |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ | 自然指数函数的导数 |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数的导数 |
二、复合函数的求导法则
1. 链式法则（Chain Rule）
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
示例：
$ y = \sin(3x) $ 的导数为：
$$
y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)
$$
三、四则运算法则
设 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，则：
| 运算 | 导数公式 | 说明 |
| 加法 | $ (u + v)' = u' + v' $ | 和的导数等于导数之和 |
| 减法 | $ (u - v)' = u' - v' $ | 差的导数等于导数之差 |
| 乘法 | $ (uv)' = u'v + uv' $ | 积的导数为两部分导数的和 |
| 除法 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 商的导数为分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数，再除以分母平方 |
四、反函数与隐函数的求导
反函数的导数：
若 $ y = f(x) $，且 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
隐函数求导：
对于方程 $ F(x, y) = 0 $，通过两边对 $ x $ 求导，利用链式法则求出 $ \frac{dy}{dx} $。
示例：
$ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 $ x $ 求导得：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
五、高阶导数
高阶导数是指对原函数进行多次求导后的结果，记作 $ y'' $、$ y''' $ 等。
示例：
$ y = x^3 $，则：
- 一阶导数：$ y' = 3x^2 $
- 二阶导数：$ y'' = 6x $
- 三阶导数：$ y''' = 6 $
六、常用导数公式小结表
| 函数类型 | 导数公式 |
| 常数 | 0 |
| 幂函数 | $ nx^{n-1} $ |
| 正弦函数 | $ \cos x $ |
| 余弦函数 | $ -\sin x $ |
| 指数函数 $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 $ e^x $ | $ e^x $ |
| 对数函数 $ \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数 $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| 三角函数组合 | 根据具体表达式应用相应公式 |
总结
高数中的求导公式是学习微积分的基础工具，熟练掌握这些公式并灵活运用，能够有效提高解题效率。建议在实际练习中多结合例题进行巩固，同时注意理解每种公式的适用条件和推导过程，从而真正掌握其内涵。
