【高数极限公式】在高等数学中，极限是研究函数变化趋势的重要工具，也是后续导数、积分等概念的基础。掌握常见的极限公式对于解题和理解数学思想具有重要意义。以下是对常见高数极限公式的总结，便于复习与查阅。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为常数本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其极限即该点值 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 重要三角函数极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 与自然对数底 $e$ 相关的极限 |
| 7 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 无穷大情形下的极限 |
二、无穷小与无穷大的比较
| 类型 | 表达式 | 说明 |
| 无穷小量 | $x \to 0$ | 趋于零的量，如 $\sin x, \tan x, x$ 等 |
| 无穷大量 | $x \to \infty$ | 趋于无限大的量，如 $x^n, e^x$ 等 |
| 无穷小与无穷大的关系 | 若 $f(x) \to 0$, 则 $\frac{1}{f(x)} \to \infty$ | 反之亦然 |
三、极限运算法则
| 法则 | 表达式 | 说明 |
| 加法法则 | $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim f(x) + \lim g(x)$ | 极限的线性性质 |
| 乘法法则 | $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$ | 同上 |
| 除法法则 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$（若分母不为零） | 注意分母不能为零 |
| 复合函数极限 | $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x))$ | 若 $f$ 在 $g(a)$ 处连续 |
四、常用未定式极限
| 未定式 | 表达式 | 解法方法 |
| $\frac{0}{0}$ | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ | 使用洛必达法则或因式分解 |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ | 洛必达法则或化简比值 |
| $0 \cdot \infty$ | $\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x)$ | 转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 形式 |
| $\infty - \infty$ | $\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)]$ | 需要通分或变形处理 |
五、一些特殊极限
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数相关极限 |
| 9 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 指数函数的一般形式 |
| 10 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$ | 幂函数的极限 |
| 11 | $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | 对数函数增长缓慢 |
| 12 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0$ | 指数函数增长远快于多项式 |
总结
高数中的极限公式是学习微积分的核心内容之一。掌握这些公式不仅可以提高解题效率，还能加深对函数行为的理解。通过表格的形式进行归纳，有助于记忆和应用。建议在实际练习中灵活运用这些公式，并结合洛必达法则、泰勒展开等方法解决更复杂的极限问题。
