【高数都有什么公式】高等数学（简称“高数”）是大学理工科学生必修的一门基础课程，内容涵盖微积分、多元函数、级数、微分方程等多个方面。在学习过程中，掌握各类重要公式是理解概念、解决实际问题的关键。本文将对高数中常见的公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。

一、基本公式总结

1. 极限与连续

- 极限的基本性质

- $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

- $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

- $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$（若分母不为0）

2. 导数与微分

- 基本导数公式

- $(x^n)' = nx^{n-1}$

- $(\sin x)' = \cos x$

- $(\cos x)' = -\sin x$

- $(e^x)' = e^x$

- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

3. 积分

- 不定积分基本公式

- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）

- $\int \sin x dx = -\cos x + C$

- $\int \cos x dx = \sin x + C$

- $\int e^x dx = e^x + C$

- $\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$

4. 微分中值定理

- 罗尔定理：若 $f(a) = f(b)$，且 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在一点 $c \in (a, b)$，使得 $f'(c) = 0$。

- 拉格朗日中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在一点 $c \in (a, b)$，使得 $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。

5. 泰勒展开与麦克劳林展开

- 泰勒公式：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$

- 麦克劳林公式：当 $a=0$ 时的泰勒展开。

6. 多元函数微分

- 偏导数定义：$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

- 全微分：$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

7. 二重积分与三重积分

- 二重积分：$\iint_D f(x, y) dA$

- 三重积分：$\iiint_V f(x, y, z) dV$

8. 常微分方程

- 一阶线性微分方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

- 二阶常系数齐次方程：$y'' + py' + qy = 0$，其通解根据特征根不同而变化。

二、常用公式汇总表

三、总结

高数中的公式种类繁多，但它们都是建立在基础概念之上的工具。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对数学本质的理解。建议在学习过程中，结合实例反复练习，逐步形成自己的知识体系。

通过以上表格和总结，希望你能更清晰地了解高数中的主要公式及其应用场景。