【高数常见函数求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要基础内容之一。掌握常见函数的求导公式对于理解导数的应用、解决实际问题以及进行更深入的数学学习都具有重要意义。以下是对高数中常见函数求导公式的系统总结，便于记忆与复习。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 指数函数的导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 自然指数函数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数的导数 |
二、复合函数的导数（链式法则）
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
即先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
三、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 与其反函数 $ x = f^{-1}(y) $ 存在，且 $ f'(x) \neq 0 $，则有：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)}
$$
四、隐函数的导数
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可以通过两边对 $ x $ 求导，利用隐函数求导法求出 $ y' $。
五、高阶导数
对于某些函数，可以求出其二阶、三阶甚至更高阶的导数，例如：
- $ f(x) = x^n $ 的 n 阶导数为 $ f^{(n)}(x) = n! $
- $ f(x) = e^x $ 的任意阶导数仍为 $ e^x $
六、常用导数技巧总结
1. 乘积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $
2. 商法则：$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
3. 链式法则：用于复合函数的求导
4. 对数求导法：适用于幂指函数或复杂乘积形式
5. 参数方程求导：若 $ x = x(t), y = y(t) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $
总结
掌握这些常见函数的求导公式和相关技巧，是学好高等数学的基础。通过反复练习和灵活运用，能够提高解题效率，增强对导数概念的理解。建议在学习过程中多做练习题，加深记忆，提升应用能力。
