【高数求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要基础之一，掌握基本的求导公式对于解决各种数学问题至关重要。本文将对常见的高数求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于理解和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、导数的四则运算法则
若函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，则有：
| 运算 | 公式 |
| 加法法则 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法法则 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
三、复合函数与反函数的导数
| 情况 | 公式 |
| 复合函数（链式法则） | 若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) $ |
| 反函数 | 若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则 $ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)} $（$ f'(x) \neq 0 $） |
四、隐函数求导
若方程 $ F(x, y) = 0 $ 给出隐函数 $ y = y(x) $，则可通过两边对 $ x $ 求导，解出 $ y' $。例如：
$$
F(x, y) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
五、高阶导数
若函数 $ f(x) $ 可导，则其二阶导数为：
$$
f''(x) = \frac{d^2 f}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{df}{dx} \right)
$$
同理，可继续求出更高阶的导数。
六、常见函数的导数示例
| 函数 | 一阶导数 | 二阶导数 |
| $ f(x) = x^3 $ | $ 3x^2 $ | $ 6x $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ |
通过以上内容的整理，可以系统地掌握高数中常用的求导公式和方法。建议在学习过程中结合实际例题练习，以加深理解并提高应用能力。
