【函数运算求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，能够帮助我们快速分析和解决实际问题。以下是对常见函数及其组合的求导公式的总结，结合表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
二、函数四则运算的求导法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ | 两个函数之和的导数等于各自导数之和 |
| 减法 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ | 两个函数之差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 乘积的导数为第一个函数导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数导数 |
| 除法 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 商的导数为分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母平方 |
三、复合函数的求导法则（链式法则）
| 函数结构 | 导数公式 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
| $ y = f(u), u = g(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $ |
四、反函数的求导法则
| 函数关系 | 导数公式 |
| $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $ | $ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $，前提是 $ \frac{dy}{dx} \neq 0 $ |
五、高阶导数与隐函数求导简介
- 高阶导数：对函数连续求导多次，如二阶导数为 $ f''(x) = [f'(x)]' $。
- 隐函数求导：若函数由方程 $ F(x, y) = 0 $ 给出，可通过两边对 x 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
总结
掌握函数的求导公式和运算法则，是学习微积分的基础。通过熟练运用这些公式，可以更高效地处理复杂的数学问题，尤其在物理、工程、经济学等领域有广泛应用。建议在学习过程中多做练习题，加深对导数概念的理解和应用能力。
