【函数求导公式有哪些】在数学中，求导是微积分的重要内容之一，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常见的函数求导公式，有助于快速解决相关问题。以下是对常见函数求导公式的总结，便于查阅和学习。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数函数的导数为0 |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数是余弦函数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数是负的正弦函数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数是正割平方 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数是负的余割平方 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数是正割乘以正切 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数是负的余割乘以余切 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数等于自身 |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为a的指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
二、复合函数与高阶导数
对于复合函数，需要用到链式法则：
- 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
此外，一些常见函数的高阶导数也有固定规律，例如：
- $ f(x) = e^{ax} \Rightarrow f^{(n)}(x) = a^n e^{ax} $
- $ f(x) = \sin(ax + b) \Rightarrow f^{(n)}(x) = a^n \sin(ax + b + \frac{n\pi}{2}) $
三、导数的运算法则
为了方便求解复杂函数的导数，需掌握以下基本法则：
| 法则名称 | 公式 | 说明 |
| 加法法则 | $ (f + g)' = f' + g' $ | 两个函数之和的导数等于各自导数之和 |
| 减法法则 | $ (f - g)' = f' - g' $ | 两个函数之差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ | 两个函数乘积的导数 |
| 商法法则 | $ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ | 两个函数商的导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数 |
四、小结
函数求导是数学分析中的基础技能，掌握这些公式和法则不仅能提高解题效率，还能帮助理解函数的变化趋势。建议在学习过程中多做练习，结合图像加深理解，逐步提升对导数应用的熟练度。
如需进一步了解隐函数、参数方程或偏导数等内容，可继续深入学习相关章节。
