【高等数学极限公式】在高等数学中，极限是研究函数变化趋势的重要工具，也是微积分的基础。掌握常见的极限公式，有助于快速解决相关问题。以下是对常见高等数学极限公式的总结，结合文字说明与表格形式，便于理解和记忆。
一、基本极限公式
1. 常数极限
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则
$$
\lim_{x \to a} f(x) = C
$$
2. 多项式极限
对于多项式 $ f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 $，有
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
$$
3. 分式极限
若分子和分母在某点处连续，则可直接代入求值。
4. 指数函数极限
$$
\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e
$$
5. 三角函数极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
二、重要极限公式汇总表
| 极限表达式 | 极限值 | 备注 |
| $\lim_{x \to a} C$ | $C$ | 常数函数的极限 |
| $\lim_{x \to a} x^n$ | $a^n$ | 幂函数极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | $1$ | 三角函数经典极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ | 三角函数极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | $1$ | 指数函数极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ | $1$ | 对数函数极限 |
| $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$ | $e$ | 自然对数底数定义 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | $e$ | 数学中的著名极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x}$ | $\ln a$ | 指数函数导数推导基础 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ | $1$ | 三角函数极限 |
三、极限的运算规则
1. 加法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)
$$
2. 乘法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)
$$
3. 除法法则
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)},\quad \text{当 } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0
$$
4. 复合函数极限
若 $ \lim_{x \to a} g(x) = b $，且 $ \lim_{y \to b} f(y) = L $，则
$$
\lim_{x \to a} f(g(x)) = L
$$
四、无穷小与无穷大的比较
- 无穷小量：以 0 为极限的变量。
- 无穷大量：以 ±∞ 为极限的变量。
- 常见比较：
- $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $
- $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $
五、洛必达法则（L’Hospital Rule）
适用于 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $，若满足：
- $ f(x) \to 0 $ 且 $ g(x) \to 0 $；
- 或 $ f(x) \to \infty $ 且 $ g(x) \to \infty $；
则有：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
六、总结
高等数学中的极限公式是理解函数行为和计算微积分的基础。掌握这些公式不仅有助于解题，还能加深对函数连续性、可导性和积分的理解。建议在学习过程中反复练习，结合图形辅助理解，并灵活运用极限运算法则和洛必达法则等工具。
以上内容为原创整理，旨在帮助学生系统掌握高等数学中的极限知识。
