【高等数学第六章微分方程公式】在高等数学中，微分方程是研究变量之间变化关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。本章主要介绍了常微分方程的基本概念、分类及求解方法，涵盖了基本的一阶和二阶线性微分方程的解法与相关公式。以下是对本章公式的总结。
一、基本概念
1. 微分方程：含有未知函数及其导数的方程。
2. 通解：包含任意常数的解，表示所有可能的解。
3. 特解：由初始条件确定的特定解。
4. 阶数：微分方程中最高阶导数的阶数。
5. 线性微分方程：未知函数及其导数的系数为已知函数或常数的方程。
二、常见类型与公式
| 类型 | 一般形式 | 解法 | 特征 |
| 一阶线性微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ | 使用积分因子法：$ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $ | 可用积分因子法求解 |
| 一阶齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) $ | 令 $ y = vx $，化为可分离变量方程 | 可通过变量替换求解 |
| 一阶可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $ | 分离变量后积分：$ \int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx $ | 直接分离变量求解 |
| 二阶线性齐次方程 | $ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 $ | 根据特征方程 $ r^2 + pr + q = 0 $ 求解 | 若有实根则为指数解，复根则为三角函数解 |
| 二阶常系数非齐次方程 | $ y'' + py' + qy = f(x) $ | 通解 = 齐次通解 + 特解（待定系数法或算子法） | 特解需根据 $ f(x) $ 的形式选择 |
三、常用解法与公式
1. 一阶线性微分方程的通解公式：
$$
y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x) dx} dx + C \right)
$$
2. 二阶常系数齐次微分方程的通解：
设特征方程为 $ r^2 + pr + q = 0 $，其根为 $ r_1, r_2 $，则：
- 若 $ r_1 \neq r_2 $（实根），通解为：
$$
y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
$$
- 若 $ r_1 = r_2 $（重根），通解为：
$$
y = (C_1 + C_2 x)e^{r_1 x}
$$
- 若 $ r_1, r_2 $ 为共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $，通解为：
$$
y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)
$$
3. 二阶非齐次方程的特解形式（待定系数法）：
| $ f(x) $ | 特解形式 |
| $ e^{ax} $ | $ Ae^{ax} $ |
| $ \cos bx $ 或 $ \sin bx $ | $ A \cos bx + B \sin bx $ |
| 多项式 $ P_n(x) $ | $ x^k Q_n(x) $，其中 $ k $ 为重根次数 |
四、典型例题解析（简要）
例1：求解 $ y' + 2y = e^x $
解：使用积分因子法：
$$
\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}
$$
$$
y = e^{-2x} \left( \int e^{2x} e^x dx + C \right) = e^{-2x} \left( \int e^{3x} dx + C \right) = e^{-2x} \left( \frac{1}{3}e^{3x} + C \right)
$$
例2：求解 $ y'' - 5y' + 6y = 0 $
特征方程：$ r^2 - 5r + 6 = 0 $，解得 $ r = 2, 3 $，故通解为：
$$
y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}
$$
五、小结
第六章微分方程的核心内容包括对一阶和二阶线性微分方程的分类、求解方法及通解、特解的表达形式。掌握这些公式和方法，有助于解决实际问题中的变化率模型，是进一步学习偏微分方程和应用数学的基础。
原创声明：本文内容基于《高等数学》教材整理，结合个人理解进行归纳总结，不直接复制原文，旨在帮助读者系统掌握微分方程的相关知识。
