【复合函数求导】在微积分中，复合函数的求导是极为重要的内容之一。它涉及到多个函数的组合，通过链式法则（Chain Rule）进行求导。掌握复合函数的求导方法，有助于解决实际问题和理解更复杂的数学模型。
一、复合函数定义
复合函数是指由两个或多个函数组成的函数，通常表示为：
$$
y = f(g(x))
$$
其中，$ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数，$ u = g(x) $。
二、求导方法：链式法则
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
即“外层函数导数乘以内层函数导数”。
三、常见复合函数求导示例
以下是一些常见的复合函数及其导数：
| 复合函数形式 | 导数 |
| $ y = \sin(3x) $ | $ y' = 3\cos(3x) $ |
| $ y = e^{2x} $ | $ y' = 2e^{2x} $ |
| $ y = (x^2 + 1)^3 $ | $ y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $ |
| $ y = \ln(\sqrt{x}) $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x} $ |
| $ y = \tan(5x + 1) $ | $ y' = 5\sec^2(5x + 1) $ |
四、注意事项
1. 识别内外函数：在应用链式法则前，必须明确哪个是外层函数，哪个是内层函数。
2. 逐层求导：如果存在多层复合函数，如 $ y = f(g(h(x))) $，则需从外到内逐层求导。
3. 注意中间变量：在复杂情况下，可以引入中间变量帮助理清思路。
五、总结
复合函数的求导是微积分中的基础内容，主要依赖于链式法则。通过正确识别内外函数并逐步求导，可以高效地处理各种复合函数的导数问题。熟练掌握这一技巧，对进一步学习高等数学具有重要意义。
原创说明：本文内容基于复合函数求导的基本原理与常见题型整理而成，内容通俗易懂，适合初学者及复习者参考使用。
