【复合函数的定义域】在数学中，复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。理解复合函数的定义域是学习这一概念的关键之一。不同的函数组合方式会影响最终复合函数的定义域，因此掌握其规律非常重要。
一、复合函数的基本概念
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是实数函数，那么它们的复合函数可以表示为：
- $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
- $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
复合函数的定义域是指使得整个表达式有意义的所有 $ x $ 值的集合。
二、复合函数定义域的求法
要确定复合函数的定义域，通常需要以下步骤：
1. 确定内层函数的定义域：即先找出 $ g(x) $ 或 $ f(x) $ 的定义域。
2. 将内层函数的结果代入外层函数：确保外层函数对输入值有效。
3. 综合两者的定义域：取两者的交集作为复合函数的定义域。
三、常见情况总结
| 复合形式 | 定义域计算方法 | 说明 |
| $ f(g(x)) $ | 先求 $ g(x) $ 的定义域，再确保 $ g(x) $ 的值属于 $ f(x) $ 的定义域 | 内层函数的输出必须在外部函数的定义域内 |
| $ g(f(x)) $ | 先求 $ f(x) $ 的定义域，再确保 $ f(x) $ 的值属于 $ g(x) $ 的定义域 | 同上，顺序不同，结果可能不同 |
| $ f(f(x)) $ | 先求 $ f(x) $ 的定义域，再确保 $ f(x) $ 的值仍属于 $ f(x) $ 的定义域 | 即 $ f(x) $ 的值必须在原函数的定义域内 |
| $ f(g(h(x))) $ | 从内到外逐步分析，确保每一步都有意义 | 多层复合时需逐层验证 |
四、实例分析
示例 1：
设 $ f(x) = \sqrt{x} $，$ g(x) = x - 1 $
求 $ f(g(x)) $ 的定义域：
- $ g(x) = x - 1 $ 的定义域是全体实数
- 要使 $ f(g(x)) = \sqrt{x - 1} $ 有意义，需满足 $ x - 1 \geq 0 $，即 $ x \geq 1 $
结论：$ f(g(x)) $ 的定义域为 $ [1, +\infty) $
示例 2：
设 $ f(x) = \frac{1}{x} $，$ g(x) = \ln(x) $
求 $ f(g(x)) $ 的定义域：
- $ g(x) = \ln(x) $ 的定义域是 $ x > 0 $
- 要使 $ f(g(x)) = \frac{1}{\ln(x)} $ 有意义，需满足 $ \ln(x) \neq 0 $，即 $ x \neq 1 $
结论：$ f(g(x)) $ 的定义域为 $ (0, 1) \cup (1, +\infty) $
五、总结
复合函数的定义域取决于内外函数的定义域以及它们之间的相互作用。正确识别并处理这些关系，是解决相关问题的关键。通过逐步分析和合理判断，可以准确地找到复合函数的定义域，避免因忽略细节而导致错误。
注：本文内容为原创，基于对复合函数定义域的理解与整理，力求通俗易懂、逻辑清晰，适合初学者或复习巩固之用。
