【勾股定理常用11个公式】勾股定理是几何学中最重要的定理之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。它揭示了直角三角形三边之间的关系：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。本文总结了与勾股定理相关的11个常用公式，帮助读者更好地理解和应用这一经典定理。

一、基本公式

1. 勾股定理基础公式

$ a^2 + b^2 = c^2 $

其中，$ a $ 和 $ b $ 是直角边，$ c $ 是斜边。

二、变形与扩展公式

2. 已知两直角边求斜边

$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $

3. 已知一条直角边和斜边求另一条直角边

$ a = \sqrt{c^2 - b^2} $ 或 $ b = \sqrt{c^2 - a^2} $

4. 勾股数生成公式（毕达哥拉斯三元组）

若 $ m > n $，则：

$ a = m^2 - n^2 $, $ b = 2mn $, $ c = m^2 + n^2 $

例如：$ m=2, n=1 $ 得 $ (3,4,5) $

5. 勾股数的倍数形式

若 $ (a,b,c) $ 是勾股数，则 $ (ka, kb, kc) $ 也是勾股数，其中 $ k $ 为正整数。

三、面积与周长相关公式

6. 直角三角形面积公式

$ S = \frac{1}{2}ab $

7. 直角三角形周长公式

$ P = a + b + c $

8. 内切圆半径公式

$ r = \frac{a + b - c}{2} $

9. 外接圆半径公式

$ R = \frac{c}{2} $

四、其他相关公式

10. 勾股定理的向量形式

若两个向量 $ \vec{u} $ 和 $ \vec{v} $ 垂直，则：

$ \vec{u}^2 + \vec{v}^2 = \vec{u} + \vec{v}^2 $

11. 三维空间中的勾股定理（空间对角线）

在长方体中，若长宽高分别为 $ a, b, c $，则空间对角线长度为：

$ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $

表格：勾股定理常用11个公式汇总

通过以上11个公式，我们可以更全面地理解勾股定理的应用范围，从基础计算到复杂几何问题的解决，均能提供有效支持。掌握这些公式有助于提高解题效率，提升数学思维能力。