【各种分布的方差与期望】在概率统计中，期望和方差是描述随机变量基本特征的重要指标。不同类型的概率分布具有不同的期望值和方差，掌握这些数值有助于我们更好地理解数据的分布特性，并在实际问题中进行建模和分析。
以下是对常见概率分布的期望与方差的总结，以表格形式呈现，便于查阅和比较。
一、离散型分布
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 两点分布 | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $ | $ p $ | $ p(1 - p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1 - p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ |
二、连续型分布
| 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 卡方分布 | $ f(x) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2} $ | $ k $ | $ 2k $ |
| t-分布 | $ f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} $ | $ 0 $（当 $ \nu > 1 $） | $ \frac{\nu}{\nu - 2} $（当 $ \nu > 2 $） |
三、总结
每种概率分布都有其特定的数学表达式，而期望和方差则是衡量其集中趋势和离散程度的关键参数。在实际应用中，了解这些参数可以帮助我们更准确地进行数据分析、预测和决策。
例如，在金融风险评估中，正态分布常用于模拟资产收益率；在排队论中，泊松分布和指数分布被广泛使用；而在统计推断中，卡方分布和t-分布则扮演着重要角色。
掌握这些基础分布的期望与方差，是进一步学习统计学和概率论的必要基础。
