【高中求导公式】在高中数学中，导数是一个重要的概念，它用于研究函数的变化率和曲线的斜率。掌握常见的求导公式是学好导数的基础。以下是对高中阶段常用求导公式的总结，结合具体例子进行说明，并以表格形式呈现。
一、基本求导公式
1. 常数函数的导数
- 公式：若 $ f(x) = C $（C为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数的导数
- 公式：若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = nx^{n-1} $
- 例：$ f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 $
3. 正弦函数的导数
- 公式：若 $ f(x) = \sin x $，则 $ f'(x) = \cos x $
4. 余弦函数的导数
- 公式：若 $ f(x) = \cos x $，则 $ f'(x) = -\sin x $
5. 指数函数的导数
- 公式：若 $ f(x) = a^x $，则 $ f'(x) = a^x \ln a $
- 特别地，若 $ f(x) = e^x $，则 $ f'(x) = e^x $
6. 对数函数的导数
- 公式：若 $ f(x) = \log_a x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
- 特别地，若 $ f(x) = \ln x $，则 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
二、导数的运算法则
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 和差法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ | 两个函数的和或差的导数等于各自导数的和或差 |
| 积法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数乘积的导数为第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数 |
| 商法则 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数为分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母的平方 |
| 复合函数法则（链式法则） | 若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $ | 用于求复合函数的导数 |
三、常见函数的导数表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \sqrt{x} $ | $ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |
四、应用举例
例1： 求 $ f(x) = x^2 + 3x - 5 $ 的导数
解：根据和差法则与幂函数导数公式，
$ f'(x) = 2x + 3 $
例2： 求 $ f(x) = \sin x \cdot \cos x $ 的导数
解：使用乘积法则，
$ f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x $
五、总结
高中阶段的导数公式虽然不复杂，但却是学习高等数学的重要基础。掌握这些公式并能灵活运用，有助于提高解决实际问题的能力。建议多做练习题，加深对导数的理解与应用。
