【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学中，虽然泰勒展开并不是考试重点内容，但在一些较难的题目或竞赛题中，了解常见的泰勒展开式有助于更快地解题和理解函数的变化趋势。以下是对高中阶段较为常见、实用的十个泰勒展开公式的总结，便于记忆与应用。
一、泰勒展开简介
泰勒展开是将一个光滑函数在某一点附近用多项式来逼近的方法。其一般形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
若 $ a=0 $，则称为麦克劳林展开（Maclaurin series）。
二、高中常用十个泰勒展开公式
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开（麦克劳林级数） | 展开范围 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 7 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 8 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 9 | $ \frac{1}{1+x} $ | $ 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 10 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ |
三、小结
以上十个泰勒展开公式是高中阶段较为常见且实用的近似工具。它们可以帮助我们更好地理解函数的局部行为，尤其在处理极限、近似计算以及一些微积分问题时非常有用。建议结合图像和实际例子进行理解和记忆，以增强应用能力。
通过掌握这些基本展开式，可以提升对函数结构的认识，并为后续更深入的学习打下良好基础。
