【高一数学所有关于三角函数的公式】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，它不仅涉及角度与边长之间的关系，还广泛应用于几何、物理和工程等领域。掌握好三角函数的基本公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是高一数学中所有关于三角函数的重要公式总结。
一、基本概念
1. 三角函数定义
在直角三角形中，设角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
- $\sin\theta = \frac{a}{c}$
- $\cos\theta = \frac{b}{c}$
- $\tan\theta = \frac{a}{b}$
2. 单位圆定义
在单位圆（半径为1）中，任意角θ的终边与单位圆交点坐标为$(\cos\theta, \sin\theta)$，则有：
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
二、同角三角函数关系
| 公式 | 表达式 |
| 平方关系 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 商数关系 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ |
| 倒数关系 | $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| $-\theta$ | $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$, $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ |
| $\pi - \theta$ | $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$, $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$, $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ |
| $\pi + \theta$ | $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$, $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$, $\tan(\pi + \theta) = \tan\theta$ |
| $\frac{\pi}{2} - \theta$ | $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$, $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$, $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot\theta$ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差 | $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| 余弦和差 | $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| 正切和差 | $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 余弦倍角 | $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 正切倍角 | $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| 余弦半角 | $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| 正切半角 | $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
七、积化和差与和差化积
| 公式 | 表达式 | ||||
| 积化和差 | |||||
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | |||||
| 和差化积 | |||||
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| 定理 | 表达式 |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（R为外接圆半径） |
| 余弦定理 | $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ |
九、三角函数图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调区间 |
| $\sin x$ | R | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 奇函数 | $[-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi]$递增 $[\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi]$递减 |
| $\cos x$ | R | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 偶函数 | $[2k\pi, \pi + 2k\pi]$递减 $[\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi]$递增 |
| $\tan x$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | R | $\pi$ | 奇函数 | $( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi )$递增 |
总结
以上是高一数学中所有关于三角函数的重要公式。掌握这些公式不仅能帮助你快速解题，还能加深对三角函数的理解。建议在学习过程中结合图形记忆，多做练习题以巩固知识。
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