【高二数学函数公式总结大全】在高二数学学习中，函数是一个重要的知识点，它贯穿于整个高中数学的各个部分，如三角函数、指数函数、对数函数、一次函数、二次函数等。掌握各类函数的基本性质和公式是学好数学的基础。以下是对高二阶段常见函数及其公式的系统总结，便于复习与记忆。
一、基本函数类型及公式
1. 一次函数
定义式：
$$ y = kx + b $$
其中，$ k $ 是斜率，$ b $ 是截距。
性质：
- 图像为直线
- 当 $ k > 0 $，函数递增；当 $ k < 0 $，函数递减
- 定义域和值域均为实数集 $ \mathbb{R} $
2. 二次函数
定义式：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中，$ a \neq 0 $
顶点公式：
顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $
判别式：
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
性质：
- 图像为抛物线
- 当 $ a > 0 $，开口向上；当 $ a < 0 $，开口向下
- 定义域为 $ \mathbb{R} $，值域根据开口方向而定
3. 指数函数
定义式：
$$ y = a^x \quad (a > 0, a \neq 1) $$
性质：
- 定义域为 $ \mathbb{R} $，值域为 $ (0, +\infty) $
- 当 $ a > 1 $，函数递增；当 $ 0 < a < 1 $，函数递减
- 过定点 $ (0, 1) $
4. 对数函数
定义式：
$$ y = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1) $$
性质：
- 定义域为 $ (0, +\infty) $，值域为 $ \mathbb{R} $
- 当 $ a > 1 $，函数递增；当 $ 0 < a < 1 $，函数递减
- 过定点 $ (1, 0) $
常用对数公式：
- $ \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n $
- $ \log_a \left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n $
- $ \log_a (m^n) = n \log_a m $
5. 三角函数
| 函数名称 | 定义式 | 周期 | 值域 |
| 正弦函数 | $ y = \sin x $ | $ 2\pi $ | $ [-1, 1] $ |
| 余弦函数 | $ y = \cos x $ | $ 2\pi $ | $ [-1, 1] $ |
| 正切函数 | $ y = \tan x $ | $ \pi $ | $ \mathbb{R} $ |
| 余切函数 | $ y = \cot x $ | $ \pi $ | $ \mathbb{R} $ |
常用公式：
- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $
- $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
- $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
- $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
二、函数图像变换公式
| 变换方式 | 公式表示 | 说明 |
| 平移（左右） | $ y = f(x + a) $ | 向左平移 $ a $ 个单位 |
| 平移（上下） | $ y = f(x) + b $ | 向上平移 $ b $ 个单位 |
| 对称（关于x轴） | $ y = -f(x) $ | 关于x轴对称 |
| 对称（关于y轴） | $ y = f(-x) $ | 关于y轴对称 |
| 伸缩（横向） | $ y = f(kx) $ | 横向压缩或拉伸 $ \frac{1}{k} $ 倍 |
| 伸缩（纵向） | $ y = kf(x) $ | 纵向压缩或拉伸 $ k $ 倍 |
三、函数的单调性与极值
| 类型 | 判断方法 | 极值判断 |
| 一次函数 | 斜率 $ k $ | 无极值 |
| 二次函数 | 判别式 $ \Delta $ | 顶点为极值点 |
| 三次函数 | 导数法 | 令导数为0求极值点 |
| 三角函数 | 周期性和对称性 | 在周期内有最大/最小值 |
四、函数的奇偶性
| 性质 | 定义 | 示例 |
| 奇函数 | $ f(-x) = -f(x) $ | $ \sin x $, $ \tan x $ |
| 偶函数 | $ f(-x) = f(x) $ | $ \cos x $, $ x^2 $ |
五、函数的反函数
若函数 $ y = f(x) $ 是一一对应的，则其反函数为 $ x = f^{-1}(y) $。
求反函数步骤：
1. 将 $ y = f(x) $ 中的 $ x $ 和 $ y $ 互换
2. 解出 $ y $，得到 $ y = f^{-1}(x) $
总结表格
| 函数类型 | 一般形式 | 常用公式 | 特征 |
| 一次函数 | $ y = kx + b $ | 斜率、截距 | 直线图像 |
| 二次函数 | $ y = ax^2 + bx + c $ | 顶点、判别式 | 抛物线图像 |
| 指数函数 | $ y = a^x $ | 指数法则 | 增长/衰减 |
| 对数函数 | $ y = \log_a x $ | 对数法则 | 与指数函数互为反函数 |
| 三角函数 | $ y = \sin x $, $ y = \cos x $, $ y = \tan x $ | 三角恒等式 | 周期性、对称性 |
| 反函数 | $ y = f^{-1}(x) $ | 互换变量 | 一一对应 |
通过以上对高二数学中常见函数的总结，可以帮助学生更好地理解函数的本质与应用，同时提高解题效率。建议结合图形进行理解，并多做练习题以巩固知识。
