【积分计算公式】在数学中，积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。积分可以分为不定积分和定积分两种类型。不定积分用于求原函数，而定积分则用于计算函数在某一区间上的面积或累积量。以下是对常见积分公式的总结，便于快速查阅和应用。
一、基本积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 | ||
| ∫k dx | kx + C | k为常数 | ||
| ∫x^n dx | (x^(n+1))/(n+1) + C | n ≠ -1 | ||
| ∫1/x dx | ln | x | + C | x ≠ 0 |
| ∫e^x dx | e^x + C | 指数函数的积分 | ||
| ∫a^x dx | (a^x)/ln(a) + C | a > 0, a ≠ 1 | ||
| ∫sin(x) dx | -cos(x) + C | 正弦函数的积分 | ||
| ∫cos(x) dx | sin(x) + C | 余弦函数的积分 | ||
| ∫sec²(x) dx | tan(x) + C | 正切函数的导数 | ||
| ∫csc²(x) dx | -cot(x) + C | 余切函数的导数 | ||
| ∫1/(1+x²) dx | arctan(x) + C | 反正切函数的积分 |
二、常见积分技巧
1. 换元积分法（变量替换）
当被积函数形式复杂时，可通过设 u = g(x)，将原积分转化为关于 u 的更简单形式。
2. 分部积分法
适用于乘积形式的积分，公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
3. 有理函数分解
对于分式函数，可将其分解为部分分式，再逐项积分。
4. 三角代换
在涉及根号下的二次多项式时，常用三角函数进行代换，如 x = a sinθ 或 x = a tanθ。
5. 对称性利用
若被积函数具有奇偶性，可简化积分过程，例如：
- 偶函数在对称区间上的积分等于两倍的非负区间的积分；
- 奇函数在对称区间上的积分等于零。
三、特殊函数的积分
| 函数 | 积分结果 | 说明 |
| ∫ln(x) dx | x ln(x) - x + C | 利用分部积分法 |
| ∫arcsin(x) dx | x arcsin(x) + √(1 - x²) + C | 分部积分 |
| ∫arctan(x) dx | x arctan(x) - (1/2) ln(1 + x²) + C | 分部积分 |
| ∫sinh(x) dx | cosh(x) + C | 双曲函数积分 |
| ∫cosh(x) dx | sinh(x) + C | 双曲函数积分 |
四、定积分的应用
定积分常用于计算面积、体积、质量、功等物理量。其核心思想是将整体分割成无数小部分，再通过极限求和得到总值。
例如：
- 曲线 y = f(x) 与 x 轴在区间 [a, b] 上围成的面积为：
$$
\int_a^b f(x) \, dx
$$
- 旋转体的体积可以通过“圆盘法”或“壳层法”计算。
五、结语
积分计算是数学分析中的基础工具，掌握常见积分公式和技巧有助于提高解题效率。在实际应用中，应结合具体问题选择合适的积分方法，并注意积分上下限和函数的连续性条件。熟练运用积分公式，不仅能够提升数学素养，也能在工程与科学实践中发挥重要作用。
