【概率论与数理统计公式总结】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握各类基本概念和常用公式是理解和应用这门学科的关键。本文对概率论与数理统计中的主要公式进行了系统性总结，便于复习和查阅。
一、概率论基础公式
| 概念 | 公式 | 说明 | |||
| 事件的并 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 包含A或B发生的概率 | |||
| 事件的交 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $ | A发生后B发生的条件概率 | ||
| 条件概率 | $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ | 已知A发生时B的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B | A_i) $ | 当事件$ A_1, A_2, ..., A_n $互斥且完备时 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(A_i | B) = \frac{P(A_i)P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B | A_j)} $ | 在已知B发生的条件下求$ A_i $的概率 |
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
| 分布类型 | 概率质量函数（PMF） | 数学期望 | 方差 |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
2. 连续型随机变量
| 分布类型 | 概率密度函数（PDF） | 数学期望 | 方差 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、数字特征
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 数学期望 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $（连续） $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) $（离散） | 随机变量的平均值 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量的离散程度 |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个随机变量之间的线性相关性 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}} $ | 取值范围在[-1,1]之间 |
四、统计推断基础公式
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $ | 样本数据的平均值 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 描述样本数据的波动情况 |
| t检验统计量 | $ t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}} $ | 用于小样本下均值的假设检验 |
| z检验统计量 | $ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} $ | 用于大样本或已知总体标准差时的均值检验 |
| 置信区间 | $ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 估计总体均值的区间范围 |
五、常见分布表
| 分布名称 | 参数 | PDF / PMF | 期望 | 方差 |
| 二项分布 | n, p | $ C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | np | np(1-p) |
| 泊松分布 | λ | $ \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | λ | λ |
| 正态分布 | μ, σ² | $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | μ | σ² |
| 均匀分布 | a, b | $ \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 | λ | $ \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
六、结论
概率论与数理统计是研究随机现象和数据分析的重要工具。通过掌握上述公式和分布特性，可以更有效地进行概率计算、统计推断和数据分析。建议在实际应用中结合具体问题灵活运用这些公式，并注意其适用条件和限制。
如需进一步深入理解某一类分布或公式，可参考相关教材或参考资料进行扩展学习。
