【复数四则运算公式】在数学中，复数是实数与虚数的组合，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的四则运算（加法、减法、乘法、除法）是复数运算的基础内容，掌握这些运算法则对于进一步学习复数的应用至关重要。
以下是对复数四则运算公式的总结，并以表格形式展示，便于理解和查阅。
一、复数的基本概念
- 复数定义：形如 $ z = a + bi $ 的数，其中 $ a, b \in \mathbb{R} $，$ i = \sqrt{-1} $
- 实部：$ \text{Re}(z) = a $
- 虚部：$ \text{Im}(z) = b $
二、复数的四则运算公式
| 运算类型 | 公式表达 | 说明 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部相加，虚部相加 |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部相减，虚部相减 |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开并合并同类项 |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $ | 分子分母同乘共轭复数，化简后得到结果 |
三、运算规则小结
1. 加减法：直接对实部和虚部分别进行运算，不涉及虚数单位 $ i $ 的平方。
2. 乘法：需注意 $ i^2 = -1 $，因此在展开时要特别处理含有 $ i^2 $ 的项。
3. 除法：通常需要将分母有理化，即通过乘以共轭复数来消除分母中的虚数部分。
四、示例说明
- 加法示例：
$ (2 + 3i) + (4 + 5i) = (2+4) + (3+5)i = 6 + 8i $
- 减法示例：
$ (7 - 2i) - (3 + 4i) = (7-3) + (-2-4)i = 4 - 6i $
- 乘法示例：
$ (1 + 2i)(3 + 4i) = 1×3 + 1×4i + 2i×3 + 2i×4i = 3 + 4i + 6i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i $
- 除法示例：
$ \frac{1 + 2i}{3 + 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{(3 + 8) + (-4 + 6)i}{9 + 16} = \frac{11 + 2i}{25} = \frac{11}{25} + \frac{2}{25}i $
五、总结
复数的四则运算虽然形式上与实数运算相似，但需要注意虚数单位 $ i $ 的特殊性质。掌握这些基本运算方法不仅有助于数学学习，也为工程、物理等领域的应用打下基础。通过表格形式的归纳，可以更清晰地理解每种运算的步骤和规律，提高运算效率与准确性。
