【复变函数与积分变换公式汇总】在数学的众多分支中，复变函数与积分变换是应用极为广泛的工具，广泛应用于物理、工程、信号处理、控制理论等领域。为了便于学习和查阅，以下对复变函数与积分变换中的主要公式进行系统总结，内容以文字说明加表格形式呈现。
一、复变函数基础公式
复变函数是定义在复平面上的函数，其研究对象为复数域上的解析函数。以下是复变函数中的一些基本概念与公式：
| 概念 | 公式 | 说明 | ||
| 复数表示 | $ z = x + iy $ | $ x, y \in \mathbb{R} $，$ i^2 = -1 $ | ||
| 模与幅角 | $ | z | = \sqrt{x^2 + y^2}, \arg(z) = \tan^{-1}(y/x) $ | 模为复数的长度，幅角为与实轴夹角 |
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} $ | $ r = | z | , \theta = \arg(z) $ |
| 欧拉公式 | $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ | 连接指数函数与三角函数的重要公式 | ||
| 复数运算 | $ z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2) $ | 加减法 | ||
| 乘法 | $ z_1 z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1) $ | 乘法运算 | ||
| 共轭复数 | $ \overline{z} = x - iy $ | 实部不变，虚部变号 |
二、复变函数的导数与解析性
复变函数的导数定义与实变函数不同，需满足柯西-黎曼方程。
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 导数定义 | $ f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h} $ | $ h \in \mathbb{C} $ |
| 柯西-黎曼方程 | $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $ | 若函数 $ f(z) = u(x,y) + iv(x,y) $ 可导，则必须满足该条件 |
| 解析函数 | 若函数在某区域内处处可导，则称其为解析函数 |
三、复积分
复积分是复变函数分析的核心内容之一，常用路径积分与柯西积分公式。
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 复积分定义 | $ \int_C f(z)\,dz $ | 积分路径为复平面上的一条曲线 |
| 参数化表示 | $ z(t) = x(t) + iy(t), t \in [a,b] $ | 将复积分转化为实积分 |
| 柯西积分定理 | 若 $ f(z) $ 在单连通区域 $ D $ 内解析，则 $ \oint_C f(z)\,dz = 0 $ | 闭合曲线积分恒为零 |
| 柯西积分公式 | $ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a}\,dz $ | 用于计算解析函数在内部点的值 |
| 高阶导数公式 | $ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz $ | 解析函数的高阶导数可用积分表达 |
四、级数展开
复变函数中常用泰勒级数和洛朗级数进行展开。
| 级数类型 | 公式 | 说明 | ||
| 泰勒级数 | $ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n $ | 在解析点附近展开 | ||
| 洛朗级数 | $ f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n $ | 包含正负次幂项，适用于奇点附近 | ||
| 幂级数收敛半径 | $ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} | a_n | ^{1/n}} $ | 判断级数收敛范围 |
五、积分变换公式
积分变换是将函数从一个空间映射到另一个空间的方法，常用于求解微分方程和信号处理。
| 变换类型 | 定义式 | 逆变换 | 应用领域 |
| 傅里叶变换 | $ F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt $ | $ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega $ | 信号分析、图像处理 |
| 拉普拉斯变换 | $ F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt $ | $ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st}ds $ | 微分方程求解、控制系统 |
| Z变换 | $ X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n} $ | $ x[n] = \frac{1}{2\pi i} \oint X(z)z^{n-1}dz $ | 数字信号处理、离散系统分析 |
六、常见函数的积分变换表
| 函数 | 傅里叶变换 | 拉普拉斯变换 | Z变换 |
| $ e^{-at}u(t) $ | $ \frac{1}{a + i\omega} $ | $ \frac{1}{s+a} $ | $ \frac{z}{z - e^{-a}} $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ \frac{\pi}{i}[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)] $ | $ \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} $ | $ \frac{z\sin(\omega_0 T)}{z^2 - 2z\cos(\omega_0 T) + 1} $ |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} $ | $ \frac{z(z - \cos(\omega_0 T))}{z^2 - 2z\cos(\omega_0 T) + 1} $ |
结语
复变函数与积分变换是现代数学和工程技术中不可或缺的工具。掌握这些公式的含义与应用场景，有助于更深入地理解相关领域的理论与方法。希望本文提供的公式汇总能够帮助读者更好地理解和应用复变函数与积分变换的知识。
