【分数的导数公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于分数形式的函数（即分式函数），其导数计算需要遵循特定的规则。以下是常见的分数函数导数公式总结，并以表格形式呈现，便于理解和记忆。
一、常见分数函数的导数公式
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = \frac{C}{x} $（C为常数） | $ f'(x) = -\frac{C}{x^2} $ | 常见于反比例函数的导数 |
| $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ | 分式求导法则（商法则） |
| $ f(x) = \frac{1}{x^n} $（n为正整数） | $ f'(x) = -\frac{n}{x^{n+1}} $ | 可看作 $ x^{-n} $ 的导数 |
| $ f(x) = \frac{x}{a} $（a为常数） | $ f'(x) = \frac{1}{a} $ | 线性函数的导数 |
| $ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} $ | $ f'(x) = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2} $ | 线性分式函数的导数 |
二、应用示例
1. 例1：
求 $ f(x) = \frac{3}{x} $ 的导数。
解：根据公式，$ f'(x) = -\frac{3}{x^2} $
2. 例2：
求 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
解：使用商法则，
$ f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} $
3. 例3：
求 $ f(x) = \frac{1}{x^3} $ 的导数。
解：可写为 $ x^{-3} $，导数为 $ -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} $
三、注意事项
- 分式函数的导数通常需要用到商法则，即分子导乘分母减去分子乘分母导，再除以分母的平方。
- 当分母为常数时，可以直接对分子进行求导，分母保持不变。
- 在处理复杂分式时，先化简表达式可能会更方便。
四、总结
分数函数的导数是微积分中的基础内容之一，掌握其基本公式和应用方法有助于解决更多实际问题。通过理解商法则、幂函数的导数规律以及具体例子的应用，可以更灵活地应对各种分式函数的求导任务。
