【分部积分公式】在微积分的学习中，分部积分法是一种非常重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个函数乘积的情况。它与微分中的乘积法则相对应，是求解不定积分和定积分的重要工具之一。
一、分部积分公式的原理
分部积分法的理论基础来源于微分学中的乘积法则：
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
对两边进行积分，可得：
$$
\int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) + C
$$
整理后得到分部积分公式：
$$
\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \, dx
$$
通常写作：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中，$ u $ 和 $ v $ 是关于 $ x $ 的可微函数，$ du = u' dx $，$ dv = v' dx $。
二、使用分部积分法的关键步骤
1. 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $
一般遵循“ILATE”原则来选择 $ u $：
- I: Inverse trigonometric functions（反三角函数）
- L: Logarithmic functions（对数函数）
- A: Algebraic functions（代数函数）
- T: Trigonometric functions（三角函数）
- E: Exponential functions（指数函数）
2. 计算 $ du $ 和 $ v $
即对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式进行计算
将 $ u $、$ v $、$ du $、$ dv $ 代入分部积分公式中。
4. 简化并求解
如果新的积分比原积分更简单，则继续计算；否则可能需要再次使用分部积分法。
三、常见应用举例
| 被积函数 | 选择 $ u $ 和 $ dv $ | 分部积分结果 |
| $ x \cos x $ | $ u = x $, $ dv = \cos x dx $ | $ x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C $ |
| $ x e^x $ | $ u = x $, $ dv = e^x dx $ | $ x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C $ |
| $ \ln x $ | $ u = \ln x $, $ dv = dx $ | $ x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C $ |
| $ x^2 \sin x $ | $ u = x^2 $, $ dv = \sin x dx $ | $ -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx $（需再用一次分部积分） |
四、注意事项
- 分部积分法并不总是能直接得出结果，有时需要多次使用。
- 正确选择 $ u $ 和 $ dv $ 是关键，不当的选择可能导致更复杂的积分。
- 在某些情况下，可以尝试交换 $ u $ 和 $ dv $ 的选择，以简化运算。
五、总结
分部积分公式是解决复杂积分问题的重要工具，尤其适用于乘积形式的函数。掌握其基本原理和应用方法，能够显著提升积分计算的效率和准确性。通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，结合适当的计算步骤，可以有效地应对多种积分问题。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 原理 | 来源于乘积法则的积分形式 |
| 使用步骤 | 选择 $ u $ 和 $ dv $ → 计算 $ du $ 和 $ v $ → 代入公式 → 简化结果 |
| 应用场景 | 乘积形式的积分，如 $ x \sin x $、$ x e^x $、$ \ln x $ 等 |
| 注意事项 | 选择合适 $ u $ 和 $ dv $，避免复杂化问题 |
